Я написал для вас несколько статей, и не рассказала еще ни одной сказки. Сегодня будет сказка. До сих пор мы делали очень большие упрощения и мы относились к реактивности просто как к сопротивлению, выраженному в Омах. Мы должны это как-то уточнить и ввести этот несчастный угол смещения. Вам понадобятся для этого комплексные числа. Вероятно вы уже встречали такие термины: мнимое число, мнимая единица и т.д. Уже само название может вызвать головокружение несварение желудка или сыпь на спине. Между тем, дело вовсе не такое сложное, как тебе кажется. Я попробую объяснить это как своему сыну.

Слухи о числах

Три тысячи лет назад, на побережье Средиземного моря, на острове, который находиться всего в 1 км от материка был город Тир. Это был главный город Финикийцев, древних мореплавателей и купцов. Финикийцы были народом очень воинственным и основали многочисленные колонии на побережье Средиземного Моря, Красного моря, видимо добрались да же до Балтики. У них была достаточно высокая культура и уровень знаний. Но основным источником богатства Финикийцев была торговля.

Их корабли бороздили моря привозя различные товары. Одно из таких судов возило овец из Палестины в различные портовые города средиземноморья. Во время длительных морских путешествий два молодых финикийских торговца, развлекали себя различными задачами (я не помню их имен, потому что это было очень давно). В основном они развивали свои навыки бухгалтерского учета. Это им было нужно при покупке и продаже овец. А задачи были не простые. В те времена еще ни кто не слышал о римских цифрах, а тем более что в арабских странах, не редко встречались люди, которые считали следующим образом: раз, два, три, много.

Финикийцы, одни из первых, кто вместо неудобных символов иероглифов ввели алфавитное письмо. Ввели так же систему записи чисел. Раньше числа записывали словами. Финикийцы не большие числа записывали вертикальными штрихами, запись || ||| ||| означала восемь. Число десять записывалось горизонтальной линией – а число двадцать записывали знаком похожим на букву Н. Например, число семьдесят записывали –ННН. Число сто обозначали знаком похожим на П. Не знали чисел тысяча и больше. Число тысяча записывалось как десть сотен.

Наши двое молодых Финикийцев умели считать с помощью сложения и вычитание. Да же хорошо это делали. Возник между ними спор. Хотелось узнать, а можно ли вычесть из меньшего большее число. Одни твердо утверждал: нельзя. Второй предполагал, что это должно быть возможно, нужно только представить себе «обратные числа». Первый категорически возражал: «ты когда ни будь видел «обратную» овцу? Или имя на борту шестьдесят пять овец, можно ли продать семьдесят? В этом нет смысла!». По его словам просто не возможно выполнить такое действие. Другой возражал: «не думай об овцах. Думай о числах. А может быть, есть такие «обратные» числа? Первый по прежнему утверждал что такие чисел, как и обратных овец просто не существует и нет смысла забивать этим голову.

И что вы думаете об этом? Сочувственно улыбаетесь? Но помните это было три тысячи лет назад. В те времена были известны только те числа, которые сейчас называются естественными. Не были известны понятия нуля. Ноль и отрицательные числа были введены в обращение только в Индии, более тысячи шестисот лет назад. Наша десятичная система счисления и цифры (называемые сегодня арабскими) пришили из Индии через Арабские страны и распространились в Европе только во второй половине нашего тысячелетия! Ранее сотни лет использовалась римская система счисления. Обратите внимания что в ней так же нет отрицательных чисел, нет нуля и в принципе не существует дробей.

Упомянутые двое молодых финикийцев вели спор о том существуют ли «обратные числа». Первый считал, что числа существуют только в том случае, если вы можете показать пример их применения. Так как не видел возможности применения «обратных чисел» утверждал, что таковых не существует.

Второй был готов допустить существование «обратных чисел» только потому, что их введение позволит без ограничений выполнять вычитание любых известных ему чисел. Для него числа существуют, если их можно использовать с учетом ранее известных правил, и если все это образует стройную систему.

А как вы думаете? Что это значить, есть такие числа?

Или вы думаете, что числа реальны только, тогда когда они связанные с реальностью? Вы готовы признать что число реально существует, есть оно принадлежит к группе других чисел и существует система действий с ними?

Подумайте об этом!

Сегодня мы знаем, что есть ряд «обычных» чисел, но в конце концов мы встречаемся в обыденности и с отрицательными числами. Это очень просто – эти цифры не только абстрактное понятие, его можно наполнить конкретным содержанием, например, температура в зимний период, морозный день. Таким мы смогли объединить обе группы чисел – мы нашли практический смысл «обратным», отрицательным числам.

 

Но давайте двигаться дальше. У этих двух древних финикийцев были другие проблемы с обменом. Иногда, никак не удавалось разделить два числа. Например: шестьдесят пять овец можно было поровну разделить между пятью сицилийскими купцами, но если было шестьдесят семь овец, то две оставались нераспределёнными. На эту тему они также яростно спорили есть ли число, которое является результатом деления шестьдесят семи на пять.

Опять же, спор был из-за незнания понятия числа, которое сейчас называется дробным.

У вас нет сомнений, что есть дробные числа.

Пойдем еще дальше.

Я бы сказал, что финикийцы все глубже изучали проблемы числе и действий с ними и наверное заметили. Что некоторые числа (например 1, 4, 9, 16, 25), являются результатом умножения какого-то числа само на себя. Что дало идею квадратного корня и возведения в степень. С другой стороны, рассматривая такие числа как 2, 3, 5, 6, 7, существуют ли числа умножение которых само на себя даст такие результаты. Наверное, первый будет твердо утверждать что таких чисел не существует. Потому что они не имеют ни какого отношения к реальности (т.е. к овцам).

Через более чем тысячу лет после финикийцев, в Греции придумали геометрию. И греческие ученые изобрели концепцию дробных чисел, как отношение двух натуральных чисел.

Но греки знали, что если у нас есть квадрат со сторонами любой длины, то нету двух числе, отношение которых равно длине диагонали квадрата. И все же диагональ квадрата существует, так как ее можно нарисовать. Несомненно, она имеет некоторую длину. Однако эта длина не может быть выражена любым известным тогда дробным числом. Для этого нужно было число, умножение которого бы само на себя давало число два и число то не могло быть выраженно в виде дроби. Сегодня мы говорим, что число равное корню из двух является иррациональным числом.

Подобное было с числом, выражающую отношение длины окружности к ее диаметру. Это число так же не может быть записано в виде дроби – в виде дроби, мы можете дать лишь приблизительную ее величину.

Что это значить, что не существует необходимого числа?

Оно есть – это квадратный корень из двух и обозначается π! Но прошу вас обратить внимание, что означает: число существует? Во-первых, это абстрактные понятия, полученные на основе теоретически соображений. Во вторых у каждой из них есть практический смысл – первое связано с любым квадратом, а второе с любой, окружность, тором, сферой.

Подытожим.

Сначала появились натуральные числа. Эти числа свободно суммируются, поэтому их можно выделить в отдельную группу. Для того что бы без ограничений производить вычитания, было введено понятие нуля и отрицательных чисел. Для успешного проведения деления, были введены дробные числа. Операция известная как принудительное извлечение корней были введены иррациональные числа.

В сумме все эти числа принадлежать к так называемым действительным числам. С действительными числами мы можем выполнять операции сложения, вычитания, умножения, деление. Без проблем. В школе, начиная с первого класса для иллюстрации этого не используются овцы, а только числовая прямая. На этой оси у нас целые числа, включая ноль – смотри рисунок 1.

Так же у нас есть несколько точек – которые «заполняют» ось между числами. На оси действительно бесконечное число точек. Одна из них соответствует как я сказал корню из двух, другая точка представляет собой число π.

А теперь, когда мы подошли к концу нашей сказки. Контрольный вопрос. Вы уверены, что для любого положительного числа есть квадратный корень? Нет ни каких сомнений, есть – даже когда дело доходит до иррационального числа! Например, когда мы говорим о корне квадратном из числа π, не возникает ни каких проблем.

Но давайте рассмотрим это немного глубже.

Возьмем число 7. Для числа 7, результат извлечения квадратного корня является иррациональным числом, в противном случае, мы не сможем его вычислить. Если взять калькулятор и выполнить расчет, вы получите число 2,64575311. Но это лишь приближение, в виде десятичной дроби с точностью до девяти знаков после запятой. «Реальное» число не может быть представлено в виде дроби, так как является иррациональным числом. Тем не мене число √7 соответствует конкретной точки на оси. Она лежит на оси где-то между 2 и 3.

Можем обобщить: для любого положительного числа а есть квадратный корень или число b, которое умножением на себя, дает число а. Все ясно!

А если есть квадратный корень из отрицательных чисел, например из числа -1? Наверное, вы ответите что нет! В самом деле кажется что нет, так как -1 в квадрате даст единицу, и единица в квадрате даст 1! Таким образом нет числа, умножения которого само на себя дает -1.

Ха! Попались! Я не случайно рассказал вам о тех финикийцах. Разве вы не подражаете первому финикийцу, который утверждал, что не существует «обратных чисел», так же как и не существует «обратных овец»?

Теперь вы можете сказать то же самое: нет корня из -1, потому что любое число, возведенное в квадрат дает положительное число. На оси чисел, нет точки которая бы соответствовала такому числу.

А почему, вы придерживаетесь идеи, что любое число, это только точка на числовой оси? Ты ведешь себя как тот финикиец, который не сумел отделить понятие числа от овец, которыми он торговал.

Так как на самом деле не существует такого числа как квадратный корень из 2?

Представьте. Со времен описанных финикийцев минуло, три тысячи лет.

Точно… но может быть, все таки есть число возведение которого в квадрат дает -1…

Что это за число? Это просто √-1, в противном случае его можно было записать как и √7 примерно 2,64571311; и мы знаем что оно соответствует точки на прямой.

Между тем, мы не можем записать это число в виде дроби, интуитивно мы чувствуем, что оно должно иметь какую-то связь с числом 1, а не дробным значением. От части вы правы: на самом деле, число не соответствует ни одной точки нашей числовой оси. Так может быть, она не существует….

Не нужно мыслить по детски! Не опускайтесь до овец!